In effetti al sette non siamo ancora arrivati. Non è così immediato come gli altri, occorre prestare attenzione ad alcune sue caratteristiche, per altro parecchio interessanti. Poi tocca imparare una sequenza, ma se impari quella lo usi come gli altri.

Appena ho un attimo provo a spiegare il tutto.

Ogni tanto mi torna in mente questo tread e quando lo apro scopro immancabilemente che avevo promesso di continuarlo e non l'ho fatto. E si che ci sono affezionato...

Vabbeh, prima o poi mi ricorderò di ricordarmi. Oggi m'è tornato in mente il tread perchè mi sono imbattuto casualmente in un trucchetto a cui non mi capitava di pensare da molti anni ed ho pensato di proporvelo... in seguito riprenderò anche il discorso principale e affronterò il temibile numero sette.

Più che un trucchetto si tratta di una particolarità di alcuni numeri... anzi sempre di quello, il nove, che per lo stesso motivo del trucchetto di qualche post fa, ossia che è il numero più alto prima del passaggio alla decina, produce spesso risultati particolari. Ma veniamo a ciò in cui mi sono imbattuto. Si tratta di questo:
se si prende un numero di tre cifre e si inverte l'ordine delle stesse il risultato della sottrazione avrà la particolarità che la cifra centrale sarà sempre nove, così come la somma delle altre due. Tranne nel caso che il risultato abbia solo due cifre... sempre entrambe nove.

Vediamo qualche esempio che visualizzando si capisce meglio.
634 - 436 = 198
782 - 287 = 495
664 - 466 = 198
721 - 127 = 594
324 - 243 = 99
235 - 532 = -297
e così via.

I più attenti avranno visto che c'è un'eccezione. Si tratta deio casi in cui la prima e la terza cifra del numero di partenza coincidono. In questo caso, invertendo l'ordine, si ottiene il numero di partenza stesso ed il risultato è ovviamente zero.
In realtà non è una vera eccezione strabuzza:, ma sarà più chiaro quando scopriremo perchè accade ciò.

A cosa serve? Beh, in effetti a poco. Tuttavia se dovesse capitarvi una sottrazione di questo tipo potete dire il risultato in un attimo... infatti vi basta trovare la prima o la terza cifra dello stesso (tramite una sottrazione semplicssima, di una cifra invece che si tre) e formare le altre due, sapendo che quella in mezzo è 9 e quella che manca fa nove con quella che avete.
Serve a poco, ma è carino.

E' carino anche perchè ci permette di addentrarci maggiormente nelle proprietà dei numeri, alcune delle quali sono curiose.
In questo caso la faccenda dipende dal motivo per cui accade il meccanismo descritto, che è:

Ah, ma forse volete dirmelo voi.

Ok, attendo.

:C:

IL meccanismo dovrebbe accadere perchè con la prima sottrazione si deve sempre fare un riporto negativo e quindi, visto che le cifre centrali sono uguali la loro sottrzione darebbe sempre zero, meno uno che riporto sempre, viene per forza nove nella cifra centrale.

324 - 243 = 99 booh.gif

forse era 342....

era 423... fa -99.

Non è propro proprio così... comunque intendevo perchè accade tutto il meccanismo, non solo il 9 centrale.

(ma che gli hai dato da bere alla tastiera?)

Quando fai così.... grrr.
La prima cos che ho provato è stata 525, e mi ha dato ovviamente 0, allora ho provato con 341-143 e mi ha dato 198
strabuzza: questa è stata la reazione.. poi con la macchinetta che ho qui in ufficio ho fatto altre sottrazioni ed effettivametne tutte avevano il 9 in mezzodry.gif .
Ma peché succeda... passo ed attendo la soluzione del mistero da chi se ne intende un po' più di me.
E' risaputo ormai che io coi numeri sono un po' tordaicon_mrgr:

xyz - zyx = a9b con x e z diversi tra loro.

a+9+b = 18 (questo non ce lo aveva detto Ray)

a+b = 18 - 9

a+b = 9

a+b-9 = 0

la prova del nove...è andata!

Non solo 9 in mezzo, anche le altre due cifre del risultato danno somma nove. Guarda bene...

Si che lo avevo detto... aveo specificato che le altre due cifre del risultato danno somma nove, per questo basta conoscerne una e si hanno tutte e tre.


E' andata dove, a farfalle? icon_mrgr:

Naaa, non ci siamo. Però bel tentativo a dire il vero, se non altro hai tentato un'impostazione formale. Il problema sta nel come "chiami" il numero di partenza (e quello con le cifre invertite).

Niente? A parte il coraggioso tentativo del Folle, nessuno ha provato a capire/dimostrare come mai si verifica questa particolarità numerica... bon, vediamo se mi riesce di mostrarlo.

Abbiamo visto, empiricamente, che un numero di tre cifre a cui si sottrae il numero prodotto invertendo l'ordine di quelle tre cifre da fuori un risultato che presenta sempre un nove in mezzo e le due cifre laterali danno come somma sempre nove. Eccezione fanno i numeri di partenza che hanno la prima e la terza cifra uguali... per forza di cose: l'inverso sarà sempre lo stesso e il risultato della sottrazione, quindi, sarà zero. Altra eccezione quando il risultato ha solo due cifre, ma in questo caso è sempre 99.

Perchè accade?

Vediamo di formalizzare la cosa, ossia di generalizzare per qualsiasi numero, che poi è la base per la costruzione di una dimostrazione matematica.
Il Folle ha cercato di farlo... chiamando il numero di partenza a+b+c (o x+y+z quel che è), però così non va bene perchè in questo modo sto semplicemente sommando tre cifre diverse, cosa che mi da una quarta cifra oppure un numero di due cifre.

Se voglio scrivere un numero generico di tre cifre dovrò chiamarlo 100x + 10y + z.

Il motivo dovrebbe essere evidente... qualunque numero di tre cifre è formato dalla cifra delle unità (in questo caso z), da quella delle decine e da quella delle centinaia.

Se adesso vogliamo scrivere il numero a cifre invertite esso diventerà 100z + 10y + x.

Lo vedete?

Facciamo la sottrazione:
(100x+10y+z) - (100z+10y+x) =
100x+10y+z-100z-10y-x =
99x-99z.
Adesso raccogliamo il 99
99(x-z).

Cosa abbiamo trovato? Abbiamo trovato che il risultato della nostra operazione è un multiplo di 99... non solo: è 99 moltiplicato per la differenza tra la prima e la terza cifra del numero di partenza.
E allora?

Beh, diamo un'occhiata ai multipli di 99:
99x1= 99
99x2=198
99x3=297
99x4=396
99x5=495
99x6=594
99x7=693
99x8=792
99x9=891

Quindi, ad esempio, 632-236 sarà uguale a 99x4, ossia a 396 e così via.

Bon, non so se è chiaro... in ogni caso di queste particolarità aritmetiche ce ne sono a bizzeffe. Se interessa ne metto qulcun'altra.

Chiarissimo.

:)

Vi propongo un'altro trucchetto/tecnica che in realtà è qualcosa di più ma che può lasciare intravedere alcune proprietà dei numeri ed alcune etodologie più generali per approcciarli... insomma un pochino di matematica.

Si tratta di calcolare, a mente e in pochi secondi, la somma di tutti i numeri naturali da 1 a ... qualsiasi.

Vediamo: calcoliamo la somma di tutti i numeri da uno a quindici. Dico che fa 120 e sono in grado di dirlo in pochi secondi. Questo non perchè sono velocissimo a fare i calcoli ovviamente, ma perchè consoco un trucchetto. E' intuibile che non ho realmente effettuato tutte e quindici le somme (metodo che in ogni caso i darà il risultato esatto, quindi corretto).

Ok, e da uno a venti? Chi ce la fa in, diciamo, 10 secondi e a mente?
Qualcuno conosce o pensa di poter costruire un trucchetto?

Io no..non sono mica Gauss....piango.gif

icon_mrgr:

Come Gauss questo qui che è semplice lo può trovare "da solo" pressochè chiunque, soprattutto dopo che è già stato trovato ed usato quindi non più "da solo".

Si , hai ragione...personalmente sapevo del trucchetto scoperto appunto da Gauss bambino, anche se non ricordavo esattamente in cosa consistesse di preciso, anche perchè lui lo aveva trovato per i primi cento numeri.

In questi casi, il procedimento che seguo è di provare con piccoli numeri, vedere il risultato e cercare di capire come è uscito fuori, faccio vari tentativi e dopo aver trovato quello giusto, allora vedo di capire cosa c'è dietro a livello matematico.

Lui notò una simmetria...

Se non sbaglio dovrebbe essere relativa alle coppie 99-1, 98-2, 97-3 ecc
In un libro che lessi anni e anni fa , una cosa tipo "il saper vedere in matematica " , questa simmetria era rappresentata con una specie di istogramma, o comunque delle colonnette che mostravano i numeri crescenti e il loro complemento a 100 era disegnato sopra di loro e di un altro colore, qundi si poteva anche trovare la somma totale prendendo il primo e l'ultimo termine ecc ecc

sisi... comunque non occorre che lo fai con 100, parlavamo di 15. Se parti con 10, 11 e 12 la cosa si vede meglio.

Ho fatto i conti.
Dunque al solito la somma dei primi quattro numeri da 10, poi abbiamo 10+5=15+6=21+7=28+8=36+9=45+10=55+11=66+12=78+13=9 1+14=105+15=120

Io sono amante dei conti a tavolino alla femminina per vedere la regola, solo che non la vedo ancora icon_mrgr:

Ho rubacchiato, però l'ho capita subito...

nel caso dei primi 20 numeri sommo 1 al numero più grande e divido per la metà dei numeri ovvero per 10.

21x10=210

Quello che si nota è che qualunque sia il numero di numeri che vogliamo sommare ci basterà fare il numero maggiore + 1 x (numero maggiore /2).

matematicamente provo a esporre

1+2+3+......Nn = Nx = Nn + 1*(Nn/2)

Non so se sia una semplice curiosità o indichi qualcosa sotto, ma a me la somma viene da farla all'indietro, cioè parto mentalmente dall'ultimo numero e via fino a uno....
Anche nel caso del prodotto, cioè col fattoriale di un numero, mi viene la stessa cosa...:U

Sai Luke che non l'ho capito cosa vuoi dire? Magari fai un esempio :U

Se debbo sommare i primi sei numeri non faccio 1+2+3+4+5+6
ma 6+5+4+3+2+1.....:)

Capito... Quindi faresti 15 + 14 + 13 + 12 ecc... non so se è la stessa cosa, se è una serie progressiva finita penso vada bene comunque.

A livello di risultato non cambia niente, era solo la curiosità di sapere se questo mio modo di procedere viene usato anche da altri e se ci possono essere motivi sotto per cui faccio questo .

Si farebbe meglio a tenere in seria considerazione qello che ha deoo Folle, magari costringendolo a spiegare un po' meglio. icon_mrgr:

Comunque la simmetria da vedere è questa:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10+1=11
9+2=11
8+3=11
7+4=11
6+5=11

...


Folle, ma se la sequenza dei numeri è dispari? tipo appunto i primi 15?

Pari

1+2+3+......Nn = Nx = Nn + 1*(Nn/2)



dispari

1+2+3+......Nn = Nx = (Nn+1)*Nn
-------------------------------
---------------------------(2)

per il 15 dunque (16/2)*15=8*15=120

Però anche per i dispari si può mantenere la stessa regoletta dei pari ed il risultato non cambia, è solo più scomodo perchè c'è la virgola:
16* 15/2= 16*7,5= 120

Direi per rimanere nel insieme dei numeri naturali.

Bene bene. Mi pare che ci siamo arrivati, anche se non so quanto sia chiaro a tutti.
In ogni caso, la formuletta postata dal Folle vale per tutti i casi, sia dispari che pari. Mi riferisco alla seconda.

n(n+1)/2

dove n è l'ultimo numero della serie di cui ci interessa la somma. Quindi se voglio sapere la somma di tutti i numeri da 1 a 22, mi baterà moltiplicare 22 per 23 e fare diviso 2. Il che è come moltiplicare 23 per 11... che sappiamo fare a mente facilmente... 230+23. 253.

Luke, se i due numeri sono consecutivi uno dei due è certamente pari, quindi posso dividere quello per due e moltiplicarlo per l'altro.

Hai avuto un ottima idea ad aprire questa pagina. La seguirò ben volentieri, perchè mi diletto nei calcoli veloci. Non mi ritengo un razzo ma me la cavo e sto migliorando. :) Grazie mille. Ah comunque il 7, nei quozienti, è il numero più semplice per me.

Ma va? Sono curioso di sapere quale tecnica usi... non che sia difficilissimo, ma lo trovo comunque meno semplice del 2 o del 5. In ogni caso lo dobbiamo ancora vedere. Appena ho unn attimo di calma cerco di illustrare le particolari caratteristiche dei suoi quozienti, a mio avviso l'unica qualità sfruttabile per fare conti.

Per le moltiplicazioni invece è in effetti semplice, anzi potremmo vedere subito come farle ad esempio combinando il 5 e il 2. Insomma per moltiplicare un numero per 7 basta raddoppiarlo e sommarlo con la sua metà moltiplicata di dieci volte...

Anche io, Ray, ti faccio i complimenti per l'argomento scelto e che offre infiniti spunti di riflessione.
Devo confessare che c'ho messo parecchio tempo per leggere i messaggi passati e, soprattutto, per mettermi a paro con gli esercizi via-via assegnati.
Aspetto con curiosità le considerazioni sui quozienti del 7.

Anche in considerazione del fatto che la cosa è uscita nel tread che riguarda la Quarta Via, inizio a parlare del sette non dall'inizio, almeno per come ho fatto sinora qui. Il che non toglie che cercheremo di imparare a operare col sette come con gli altri numeri, ovviamente.

Trovo però interessante mostrare, come prima cosa, una particolarità numerica dei suoi quozienti... particolarità che potrebbe favorire delle intuizioni a proposito degli argomenti che trattiamo di là.

Le frazioni del sette, come per molti altri numeri, generano dei periodici, ossia dei numeri che, dopo la virgola, si ripetono all'infinito. Ad esempio il 3 genera periodici del 3 o suoi multipli. Ecco che
1/3 = 0.33333periodico (il tre si ripete all'infinito se si continua a dividere)
2/3 = 0.666666periodico

Il sette fa una cosa curiosa:
1/7 = 0.142857 periodico (0.142857142857142857...)
2/7 = 0.285714 periodico
3/7 = 0.428571 periodico
4/7 = 0.571428 periodico
5/7 = 0.714285 periodico
6/7 = 0.857142 periodico

sono sicuro che molte cose vi saltano subito agli occhi...

Numeri ciclici. Si nota quindi che il quoziente tra X/7 (con x diverso da 7 e i suoi multipli) sarà uguale a 0,142857*X. Forte :D

BattiLaTe: BattiLaTe: icon_scra:
i numeri si muovono...
un 3! stilizzato...
manata.gif batto ma non esce nulla.

Divisione per 7
 

Mi dispiace non aiutarvi ma non so come è che il 7 lo trovo più semplice di molti altri numeri. Uso per tutti i numeri, il metodo insegnato ai ragazzini, incolonnare (chiaramente a mente). Ma con il 7 sono più veloce di 5,8,4. Comunque, avendo più dimestichezza con 10 e 3 per fare un prodotto con il 7, una tecnica è 10n - 3n se l ultima cifra di n é maggiore della prima. Tipo 34*7= 340-102 ed è presto fatto. (a me però escono subito le sottrazioni, quindi mon sono molto obiettivo).

Faltea...
i numeri si muovono soltanto?

Se leggo nel pensiero di Ray, una cosa di tutta evidenza (non è farina del mio sacco) la possiamo dedurre dal trucchetto del 765348992334997665221 di cui a pag.2.

Immaginiamo di dividere il numero ciclico ricavato da 1/7 in due stringhe separate [eliminando 'mentalmente' (è sufficiente dire così, per non incasinarci troppo) lo zero e la virgola]:
142 / 857

ed ordiniamo per colonne le rispettive stringhe

1 8
4 5
2 7

Cosa si può notare?

La loro somma da 9.

Come dice Fufi, non si limitano a muoversi...

per il momento aggiungo a quello che avete già notato che, se ci fate caso, spicca la carenza di 3, 6 e 9...

Anche se qui non c'entra... ma qualcuno da qualche parte ha messo un'immagine dell'enneagramma (quello di Gurdy)?

E' vero, nell'enneagramma vi è il triangolo 369 che se non ricordo male non si muove, mentre i movimenti da G. indicati sono tra i restanti 6 numeri.