Esatto formano due insiemi.
Quello che hai messo in immagine è l'insieme N;0 ovvero l'insieme dei numeri naturali (N), dato dalla somma di 1(che parte da 1 che è l'idea di base, ad esempio contando con le dita parti da 1), considerato anche lo zero si ha una nuova origine ma che in realtà non fa parte dei numeri naturali. Per quanto riguarda la questione del generare un altro insieme contando verso sx quindi sottraendo è esatto in quanto in questo nuovo insieme saranno presenti numeri che nell'altro non ci sono e inoltre si può dire anche che allarga l'insieme N, che è contenuto nel nuovo insieme.

Ovviamente aspettiamo chi ne sà di più per conferme, anche se nn credo di aver scritto stru.... nonso.gif manata.gif

fiori.gif

Fol ha scritto molto bene, altro che struz... parliamo pure quindi dei numeri relativi e della sottrazione, anche se non abbiamo esplorato ancora per nulla le possibilità dell'insieme N... oltre alla somma, c'è la moltiplicazione (di cui abbiamo appena accennato) e l'elevamento a potenza (che ci spiega come sono costruiti i nostri numeri), ma bon ci torneremo in seguito.

I numeri relativi si generano con la sottrazione, ovvero contando (sempre di uno in uno) ma verso sinistra... tornando indietro se vogliamo vederla così.

Cosa succede se contiamo all'indietro in N? Succede che certi conti li possiamo fare e certi no. Ad esempio io posso fare 7-5... parto dal 7 e conto cinque volte verso sinistra. Mi fermo sulla tacchetta dove c'è scritto due, quindi dico che fa due. In effetti se da un insieme che contiene sette elementi ne tolgo cinque, ne restano solo due.
Come si può intuitivamente vedere l'operazione eseguita è opposta all'altra... infatti in una conto verso dx, nell'altra faccio la stessa cosa ma dall'altra parte. Quindi sono i due diversi aspetti possibili della stessa cosa, le due facce della stessa medaglia. Vedremo come, ogni volta che "facciamo" una medaglia, avremo necessariamente due facce... quindi se faccio un'operazione, ovvero mi invento un modo qualsiasi di contare, ecco che in realtà ne ho inventati due.
In ogni caso, la controprova, nonchè conseguenza di ciò è che se 2+3=5 allora avrò sia che 5-3=2 sia che 5-2=3 (anche se dobbiamo ancora dire che se 2+3=5 allora 3+2=5... sta cosa si chiama "proprietà commutativa della somma" e si dice "cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia"... ne riparleremo dato che può essere applicata per analogia ai "nostri discorsi", spazio all'intuizione).

Bene ma cosa accade se io per esempio voglio fare 2-5? Dovrei partire dal due e contare verso sinistra cinque volte... ma l'insieme finisce prima.
Ma siccome sono le operazioni che generano i numeri e non viceversa, io me ne frego e continuo a contare... e questo contare genererà, farà nascere, nuovi numeri.
Quindi io inizio il mio cammino dal due, faccio i miei passi indietro e quando arrivo allo zero (dopo due passi) continuo a camminare e vedo che la mia retta si allunga, generando altri numeri... numenri che devo chiamare in qualche modo.

Per una serie di ragioni, alcune già evidenti e altre che diverranno evidenti in seguito, si è deciso di chiamare questi numeri in modo simmetrico a quelli a destra dello zero, ma aggiungendo un segno che indichi da che parte stanno.

Quindi a distanza uno a sinistra dello zero troverò -1, poi -2, -3 e via così. Come nei termometri (solo orizzontale)... questo sistema mi permette di eseguire ogni sottrazione... ecco che il mio 2-5 mi farà fermare il mio cammino alla tacca -3.

A questo punto però sorge un problema... quello di sapere immediatamente da che parte dello zero si colloca un certo numero... se dico 8 e basta va bene per i numenri naturali, ma se sono nei relativi, potrebbe essere l'8 a destra o l'8 a sinistra... quindi ecco che doto i numeri a sinistra dello zero del segno - e i numeri a destra dello zero del segno +.

Il risultato di ciò è una retta (non più semi-retta) con l'origine in zero e due direzioni, una verso destra e una verso sinistra e i numenri in sequenza saranno .......-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ...... (se Red ci fa un altro disegnino sarà assai apprezzata).
Abbiamo generato un nuovo insieme, l'insieme dei numeri relativi (si relazionano col segno e il loro valore è relativo... dipende dalla loro posizione). Questo insieme di indica con la lettera Z.

C'è una precisazione da fare. Normalmente si dice che N è un sottoinsieme di Z (un sottoinsieme è un insieme completamente contenuto nell'insieme), però sta cosa non è proprio proprio precisa. Per via dei segni.

Pensateci un attimo... le entità contenute in Z, pur se derivate da N, sono formate diversamente dalle entità contenute in N. Esse infatti hanno cifra e segno (il nr relativo è formato da una cifra e da un segno), mentre quelle di N sono formate solo da una cifra. Quindi nessun elemento di N appartiene anche a Z. Abbiamo si esteso N ma il risultato è stato quello di crare un altro insieme.. un insieme di ordine diverso (ordine di esistenza) da quello che avevamo prima... il quale comunque continua ad esistere benissimo per conto suo.

Tuttavia esiste una relazione tra N e Z... chissà se Fol riesce ad indicarla correttamente con una formuletta semplice semplice che prevede una sola operazione... (così iniziamo coi problemini... e soprattutto con gli approcci ad essi... vedrete che tra non molto chi ha sempre avuto difficoltà a ragionare matematichese e quindi risolvere problemi in termini matematici, riuscirà ad affrontare anche cose assai complicate... alla fin fine, sono due o tre le cose che davvero servono).

Mi fermo perchè il post è lunghissimo... lascio a voi :C:

Vediamo Ray secondo il tuo ragionamento la formuletta di cui parli potrebbe essere N=|Z|, che si legge N uguale al modulo di Z, e l'operazione modulo si indica così | |. L'operazione modulo non fa che prendere il numero senza segno, dunque per questa sua funzione si potrebbe dire che l'insime N (1,2,3,4,5...ecc) sia il modulo dell'insieme Z(...-3,-2,-1,+1,+2,+3...), interessante notare come allo zero (che è un "idea" a parte [stru... nonso.gif] ) non venga assegnato alcun segno, e che dunque non esista neanche il suo modulo non avendo segno.
Esempio di modulo
|-2|=2
|+2|=2

Un saluto alla città.

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Ebbravo Fol... aggiungo solo, per cronaca, che "modulo" è anche conosciuto come "valore assoluto"... termine che, se collegato al tuo ragionamento con lo zero, può aprire ad interessanti spunti...

Con questo termine mi hai aperto la mente, provo a fare qualche folle osservazione:

L'uno e lo zero sono i due valori "fondamentali".

Senza l'idea di uno non avremmo l'idea di 2 o di -1.

Lo zero è l'origine, unico in quanto è presente una sola volta nella retta e non esiste il suo valore assoluto, il quanto è impossibile dare un valore allo zero, mentre per il valore assoluto 1 come abbiamo visto nell'insieme dei relativi corrispondono |+1| e |-1|,quindi due valori distinti.

Mi viene in mente come lo zero sia un cerchio che contiene tutto in se stesso, un insieme a parte, di solito gli insiemi si rappresentano con dei cerchi.
Inoltre senza lo zero come nuova origine, ci sarebbe una sorta di perdita dell'equilibrio, e non si avrebbe un punto unico di partenza-origine.
Inoltre avendo lo zero come origine è come se si fissasse un punto da cui a dx e sx nascano due semirette della stessa lunghezza ma di versi opposti, che dividono la retta di partenza in 2.

Una domanda Ray, perchè dici che N non è compreso in Z? Ovvero capisco che hanno dei caratteri diversi, in quanto da una parte c'è il numero assoluto "fondamentale" che è l1 assoluto e dall'altra gli uni "duali" con il loro segno, però di solito si definisce un modulo un valore positivo, infatti di solito il + si omette è il - che fa la differenza. Facendo un esempio fare la radice di |+3|,3 o +3 sotto un certo punto è scrivere la stessa cosa, mentre ben diverso è nel caso della radice di |-3| che è ben diverso dal caso -3 (la radice di un numero negativo nn si può fare direttamente, infatti se la memoria nn m'inganna si fa il modulo del numero e si porta il meno fuori dalla radice per far permanere il segno).Forse nn sono stato molto chiaro era per dire che di solito si fa combaciare l'insieme N con i numeri positivi in quanto il modulo di una quantità (positiva o negativa) viene considerato una quantità positiva, e non assoluta.Spero hai capito cosa intendo..... nonso.gif

Ultima osservazione e chiudo pensando alle dita per contare mi è venuto in mente che lo zero è un pugno chiuso, pensate a quando si fa la conta e si butta zero.

OT:Credo che questa è la strun.... più lunga che ho scritto nella mia permanenza in città.
Ray non sò dove vuoi arrivare, ma ti seguirò fino in fondo.

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Si, normalmente si dice che N è compreso in Z (a va bene come convenzione, ci permette di continuare con alcune conseguenze), ma come ho mostrato sopra gli elementi di N, volendo essere fiscali, non appartengono a Z. Z infatti è generato non solo da N ma anche da un intervento diciamo esterno che alla fine, per formare Z come lo conosciamo, modifica anche gli elementi di N. Quindi abbiamo N, grazie ad una sua possibilità lo estendiamo (l'altra semiretta) ma, per formare Z, modifichiamo N.

E' sottile la cosa... ma visto che sto tread fa uscire il Fol intuitivo... se ti dicessi che per comprendere in Z tutto N dobbiamo aggiungere una "dimensione" cosa ti si accende?

avevo scritto un poema, per farla breve la dimensione(misura) o intervento esterno che dobbiamo aggiungere è lo zero, che direi sono costretto a prendere in quanto, come hai scritto tu sono le operazioni che generano i numeri.

ray con queste domande mi fai impazzire(tra l'altro ho letto anche la tradizione primordiale), un altra cosa ma non è che ti sei sbagliato a scrivere la domanda ovvero che per comprendere tutto N in Z ...?

Mi si sta ribaltando la testa...

O.T.

E' da 3/4 post che trattengo un commento, volevo vedere se sbagliavo e se il 3D fosse tornato su altri binari.... non che questi siano disdicevoli, anzi...
In soldoni, questa discussione va bene ed è bella, ma toccherà aprirne un'altra perchè "abbiamo" perso il senso di cui parlammo in privato Ray: cioè rendere la matematica semplice, per quanto possibile e accessibile/appetibile a tutti.
Quindi tempo permettendo (o volontari che non si lascino traviare diavolo.g:) apriremo una biforcazione di questo thread che tenterà di svolgere i compiti prefissati che ho appena scritto... e questo può anche continuare su tale ritmo.

fine O.T.

Hai ragione, mea culpa. Ho cercato di fare tre cose in una... partire da zero e rendere il tutto decente (i post diciamo lunghi), dare qualche spunto di collegamento con i "nostri discorsi" (sparpagliati un po' ovunque... e senza farsi prendere la mano ci poteva anche stare) e seguire entro certi limiti alcuni sentieri che questi spunti aprivano oltre a rispondere come potevo alle domande (e qui mi son lasciato prendere la mano).

Quindi aspetto che impostiamo una soluzione, ci penso anche io a come fare (forse basterebbe spezzettare il tread e spostare alcuni post in un ipotetico "matematica approfondimenti" o qualcosa di simile).

scusa.gif

Ho cercato di riflettere su quanto detto sino ad ora e mi piacerebbe sapere se sono fuori come un balcone oppure no. fiori.gif
A me infatti la matematica sembra tutt'altro, direi che l'educazione assomiglia alla matematica l'educazione ( giudizio ) mi fa venire in mente la divisione.Una divisione mentale di ciò che non si comprende. Vabbeh qui mi sa che mi capisco solo io.icon_mrgr:

Lo zero l'essere in cui è racchiuso tutto mentre la matematica inizia dalla divisione dello zero in tante parti, lo scindere lo zero fa si che si frammenti in tanti numeri.

Numeri che poi possono diventare positivi o negativi ma che in origine non esistono ma sono indiferenziati nello zero. I numeri una volta usciti dallo zero entrano nella mente per divenire parti a se stanti dimenticando la loro origine che è il tutto.

Se dall'indiferenziato estraggo l'uno che è l'idea di gatto esso comprende in se stesso anche l'insieme di gatto anche se io non lo conosco. Il che vorrebbe dire tutte le possibilità gatto, pelo lungo corto, occhi azzurri, grigi, verdi, giali, arancio, pelo rosso nero bianco e la mescolanza di questi l'uno diventa a sua volta il tutto di ciò che può essere manifestato. ( in questo caso del gatto)

Ma i numeri sono all'interno dell'insieme uno. Gli altri sono somme di uno + uno che alla fine formano l'universo. ( Che poi azzardo potrebbero esser il 10, il 100 etc) ( che poi esisterebbe sia nel microcosmo che nel macrocosmo diversi universi insomma)

I numeri sono infiniti come è infinito l'universo, la manifestazione degli insiemi di uno.
1 mi fa venire in mente poi il primo piano di manifestazione.
10 la trasformazione in un altro piano un gradino più su, 100 ancora un'altra trasformazione
L'uno però è un numero intero e lo diventa quando l'insieme è completo in se stesso altrimenti sotto è decimale e porta la virgola o il punto.

Quando guardiamo un gatto non vediamo il Gatto ma vediamo una delle tante possibili manifestazioni dell'idea originale che le comprende tutte. Quindi due gatti non esistono se non all'interno dell'insieme uno.

:C:

Ehm... proviamo ad andare con ordine, cerco di rispondere a tutte le tue affermazioni Gris.

La matematica non inizia con lo zero, anzi se leggi, lo abbiamo introdotto solo dopo. Abbiamo iniziato con il concetto di numero 1... so che può sembrare paradossale, ma il concetto di numero deriva da quello di numero 1.
Lo zero non si può dividere, ne in due ne in tante parti. Quale sarebbe una qualsiasi parte dello zero? Non si scinde in numeri... non si scinde proprio.

Non è che i numeri diventano positivi o negativi, siamo noi che, dopo che abbiamo introdotto il contare e le direzioni, scopriamo numeri diversi e vediamo che associando ad essi un segno (in quesro caso + o -) l'insieme che ne risulta è diciamo per adesso conveniente.

L'uno non è l'idea di gatto. L'idea di gatto l'abbiamo usata come esempio per parlare di insiemi, spiegheremo meglio nell'altro tread.

L'ultima frase è interessante, la rivediamo nell'altro tread anche questa, dove ci sarà utile.


Mi rendo conto che questo modo di approcciare la matematica può far saltare a molti le certezze e, di conseguenza, fare un po' di confusione e mescolare le cose, però è importante soffermarsi sui concetti base.. capiti questi il resto viene da se. Facendo i debiti mea culpa per aver lasciato che il tread partisse un po' per la tangente, ti invito a rileggere i primi post lasciando perdere le connessioni a concetti come manifesto, piani di esistenza e simili... e collegarli alla questione solo dopo. Meglio piantare bene tutti i muri prima di mettere il tetto...

Io riprenderei con le operazioni e gli insiemi di numeri (così chiariamo anche i numeri con la virgola, le frazioni eccetera), ma se avete dei dubbi su quello che c'è finora (di matematica e non di stranezze) è meglio soffermarsi. Quindi attenderò.

Bon grazie mi resetto e riprendo da capo.

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velocissimo,a me 1 0 fa venire in mente il linguaggio binario ;)

già...:)))

Ancora due parole sui numeri relativi e su somma e sottrazione, espandendo ancora un po' il concetto forse molte cose sparse possono connettersi. Questo in attesa di tornare a parlare di moltiplicazione ed elevamento a potenza, per i quali torneremo in N per poi vedere cosa succede a loro in Z. Dopodichè ci toccherà introdurre la divisione (questa sconosciuta) perchè senza di essa andiamo poso avanti... per dirne una, senza divisione non possiamo neanche parlare di numeri pari e dispari (se ci pensate è ovvio...).

Abbiamo visto come con Z la sottrazione è sempre possibile, cosa che invece non era in N. Questo fatto fa si che adesso abbiamo completato la somma. Adesso vediamo perchè, prima una minima ripetizione da un altro punto di vista.

Finora abbiamo considerato somma e sottrazione come due cose diverse, anche se abbiamo visto subito come la sostanza sia la stessa: contare per uno. La somma me lo fa fare verso dx, la sottrazione verso sx.
Prima di avere i numenri relativi succedeva che potevo contare verso dx all'infinito, mentre verso sx avevo un limite... lo zero.
Abbiamo visto come abbiamo superato questo limite: semplicemente abbiamo continuato a contare verso sx... e ci si è aperto un altro "universo" infinito... dall'altra parte. Universi (insiemi) infiniti connessi tra loro dallo zero... da un nulla (interessante metafora no?).

Siamo riusciti a fare ciò perchè samo partiti da un problema del tipo: ma se so che 7-2 fa 5 allora quanto fa 2-7?
Applicando lo stesso sistema risolutivo trovavamo che, partendo dal 2 e contando verso sx sette volte, dopo due passi eravamo a zero. Ma noi, ipoteticamente, dovevamo farne altri 5 di passi (perchè 7-2 fa 5... avevamo da farne 7, ne abbiamo fatti 2... ne restano 5). Quindi abbiamo dovuto contare altri 5 passi a sx dello zero... ovvero abbiamo generato 5 numeri, di cui l'ulitmo doveva per forza essere distante 5 dallo zero. Proprio come è distante 5 dallo zero il nostro 5 originale... solo dall'altra parte. Ecco perchè abbiamo chiamato il nostro nuovo numero -5.

Un altro modo di vedere il valore assoluto dei numeri è questo: la distanza dallo zero (sempre in attesa che Red ci faccia il disegnino anche di Z).
Questo può dare un'idea del concetto di valore assoluto o modulo (ricordate i vettori?) di cui parlava Fol. Valore assoluto è la distanza dallo zero, non importa se a dx o sx (si indica con |x|), mentre il segno che accompagna indica da che parte dello zero sta il numero.

Se fin qui è chiaro torniamo sul concetto di somma. Grazie a Z possiamo dire veramente che somma e sottrazione sono la stessa cosa, ma senza direzione fissa. Ovvero che sommare significa contare per uno e stop (come doveva essere dall'inizio il nostro sistema di generare numeri). Vediamo perchè.

Adesso che abbiamo Z noi possiamo sommare (e sottrarre) sia numeri positivi che negativi... ma allora cosa può succedere?

Quanto fa -5 meno -6?

Questo è un problema per nulla banale come può sembrare. Dato che il post è già lungo ve lo lascio icon_mrgr: ... chi ha voglia di provarci dovrebbe dire quanto fa e perchè... (nel perchè non vale ripetere a memoria regolette imparate a scuola senza sapere che motivo le regge)


PS: forse vi ho incasinato le idee aprendo un discorso e non finendolo ma non preoccupatevi, poi tutto si connette... cmq se ci pensate anche un po' non è una così spaventosas come sembra.

Vediamo quanto riesco ad incasinarmi icon_mrgr:

per la regoletta matematica dei segni direi che il risultato è - 11, ma visto che non valgono le regolette provo a ragionarci sopra.
Parto da meno 5 (cinque tacche a sinistra dello zero), a questo punto se io sommassi un + 6 andrei da sinistra verso destra, e quindi arriverei a +1, dovendo sottrarre (e abbiamo detto che per sottrarre vado verso sinistra) continuo a spostarmi dal -5 verso sinistra (aggiungendo icon_mrgr: verso sinistra)altre sei tacche arrivo a -11 ( pensandoci la sottrazione in questo caso sembra un'addizione)
Non so se si capisca qualcosa...

ps: in allegato l'insieme Z

Dunque, se parto dallo zero e conto a passi di uno verso sx avrò 5 passi fino a -5, più altri 6 passi di uno verso sx quindi in tutto mi sono allontanata dallo zero di 11 passi, arrivando a -11.
Come ha detto Red, non faccio altro che addizionare i due numeri col segno meno per arrivare al risultato.
E' come se all'altezza dello zero mettessi uno specchio con i numeri riflessi, e sottrazioni di più numeri verso sx corrispondono ad addizioni verso destra, solo col segno inverso.

Ma se prendo per esempio il termometro delle temperature quando vanno sotto lo zero, se ieri avevamo una temperatura di -5° e oggi di -6° diremo che la temperatura si è abbassata di un grado, non di 11 gradi tutti in un colpo.
Questo perchè si è calcolata la differenza tra -5° e -6°, visto che la più bassa tra ieri e oggi è stata la temperatura di -6°....
E se oggi abbiamo -6° e domani si prevede un ulteriore abbassamanto fino a -11°, allora diremo che dal -6° si è andati più giù di altri 5 gradi per un totale di - 11° la differenza in questo caso sono i 5 gradi di ulteriore abbassamento e -11° la distanza dallo zero.

Quindi alla domanda si potrebbe anche rispondere -1 in relazione alla differenza tra -5 e -6, ma non in relazione allo zero, visto che si parte già dal - 5... nonso.gif

Siete tutti d'accordo?

PS: graze per il disegnetto Red...

Secondo me fà 1...

Se mi trovo a -5 e sottraggo devo andare verso sinistra nell'universo opposto.

Mi spiego meglio... mi trovo nella parte a sinistra dello zero ovvero quella denominata col segno meno. Ora siccome l'universo è speculare per sommare devo andare verso sinistra e per sottrarre devo andare verso destra.

-5 mi sposto a destra (sottraggo) di 6 e supero lo zero ed arrivo a 1.

Come vedete non è un problema banale... finora su due interventi abbiamo due risultati diversi ed entrambi diciamo motivati.

E' chiaro che almeno uno è sbagliato... il che fa si che ci sia qualcosa di sbagliato anche nelle motivazioni.

Vabbeh, aspettiamo altre opinioni.

Ci provo anch'io.
Arrivata a contare a -5 se dovessi togliere (meno) sei allora come dice Grey Owl mi sposterei verso destra e arriverei a uno ma Ray ci ha chiesto di togliere -6 (-5 meno -6) quindi devo continuare a spostarmi a sinistra arrivando a -11. Segno meno e segno si "annullano" e mi ritrovo a fare una somma. Nel mondo del negativo il meno diventa più. Bon mi sto intortando..
:C:

vediamo: -5 - (-6)=?
uguale a +1.
nel fare questa operazione non devo spostarmi a sinistra ma a destra nel grafico sopra disegnato.
partendo dal - 5 iniziale se "devo togliere" un numero negativo risulta molto intuitivo il capire che "tolgo" appunto la negatività del numero.
quindi da -5 tolgo (-) un numero di negatività maggiore (-6) nella sostanza "riporto" il tutto a positività (+1)
ciò differenzia invece la "somma"
ossia
-5 sommato(+) a -6
in questo caso io "aggiungo" negatività a un qualcosa di già negativo che diverrà "maggiormente" negativo (pertanto -11)

spero di nn aver detto scemenze

Dunque, se a -5 tolgo un -6, non posso farlo perchè -6 è maggiore di -5...

Se dovessi fare -5 meno -5 arriverei a 0
dovendo togliere ancora 1 arrivo a +1 !!!

Ma allora, come per la sottrazione dei numeri positivi, non posso togliere una quantità più grande del numero da cui devo sottrarre, senza sconfinare oltre lo zero col relativo segno opposto....

stosvegli:

Anch'io sono d'accordo con RedW...ed il ragionamento "pare" semplice...mi rifaccio ai gatti...se ho -5 gatti ed a questi devo aggiungerne altri 6 mancanti,quindi -6 arrivo a -11 gatti mancanti.Se fossero stati -5 + -6 allora il risultato sarebbe stato +1,viceversa se avessomo avuto +5 - -6 il risultato sarebbe stato -1...

certo cassandra.
ma non è la risposta al quesito di ray che era
"quanto da meno 5 meno meno 6"?
quindi a mio avviso -5 -(-6) il cui risultato è più uno.
secondo me Ray voleva appunto evidenziare che "togliere" in quel caso è come dire "diminuire la negatività".
dato che 6 e più "grande" di 5 la "trasforma" in positività.
(e ciò vale in alchimia penso anche)

ciauzz

Si Turi ho risposto che sono d'accordo con Red...magari abbiamo sbagliato,ma se quello penso,quello dico, poi aspetto che Ray corregge e spiega,così sarà chiaro come avrei dovuto ragionare...meglio sbagliare da soli che scopiazzare e non capire nulla no?
un abbraccio amico mio
ciauzz anche a te...fiori.gif

oh si.
ti chiedo scusa io che forse ho esagerato nel "tono" :)))) e mi sono "messo in mezzo"
ben mi sta.

ciauzz

Bene, bene. Battibecchi a parte mi pare che tutti vi siate sforzati di ragionare. Tuttavia i vostri ragionamenti vi hanno portato a diverse conclusioni... di cui alcune errate. Attenzione perchè se un ragionamento vi porta a conclusioni errate allora c'è qualche falla in esso.
E' di gran luga più importante trovare la falla nel proprio ragionamento che avere il risultato (contrario della matematica insegnata attualmente... danno i voti sui risultati... bah) e questo perchè, se si trova la falla e si osserva ocsa mancava e come mai abbiamo pensato così, questo può dare notevoli indizi su noi stessi (provare per credere).

Vediamo un po' come era la questione. Premetto che molti di voi hanno risposto correttamente ma nessuno ha svolto il ragionamento e quindi dato il perchè (che era la ocsa più importante) in modo completo. Molti di quelli che hanno risposto correttamente un po' hanno "imbrogliato"... nel senso che hanno tirato in ballo cose che non c'erano nel tread, elemnti che altri potevano non avere a dsiposizione... mentre comunque ce n'erano abbastanza per risolvere la cosa.
La risposta migliore a mio avviso è quella di Red, anche se purtroppo, errata. La risposta di Turi (e di Grey) è corretta tuttavia Turi fa una cosa che volevo mostrare: lui sapeva la risposta di suo... e da essa ha cercato un ragionamento che la spiegasse, invece di fare viceversa. Mentre Red ha cercato un ragionamento il quale le ha fornito una risposta.
Non che non si debba fare come fa Turi... se so una risposta va bene cerare come spiegarla... ma devo prima sapere perchè è così (lo so che Turi discuterà sta cosa, ma bon, speriamo in non troppi post).

Cerchiamo di vedere la cosa nel suo complesso. Io avevo chiesto quanto fa "-5 meno -6".
Se ci si basava unicamenti su quel che avevamo detto finora c'era un unico modo di procedere... il seguente: posto che sottrarre è contare per uno verso dx e posto che si parte dal primo numero e si deve contare tante volte quante dice il secondo numero, la procedura diceva di
partire da -5 e contare verso sinistra meno sei volte.

vediamo tutti i casi:
-5 più +6 ovvero (-5) + (+6) parto da -5, conto verso dx 6 volte... ottengo +1
-5 meno +6 ovvero (-5) - (+6) parto da -5, conto verso sx 6 volte... ottengo -11
-5 più -6 ovvero (-5) + (-6) parto da -5, conto verso dx menosei volte
-5 meno -6 ovvero (-5) - (-6) parto da -5, conto verso sx menosei volte

Ma cosa vuol dire contare menosei volte? Beh, sappiamo cosa vuol dire contare sei volte. Significa contare per uno e fare tanti passi quanti indica il numero 6. Ovvero quel numero che nella retta sta tra il 5 e il 7... insomma quel numero che ha distanza sei dallo zero e sta collocato alla sua dx.
Quindi contare menosei volte significa contare verso dx e fare tanti passi quanti indica il -6, ovvero il numero che ha distanza sei dalla zero ma sta alla sua sx.
Quindi per ogni passo che dovrei fare verso dx (se 6 fosse +6) devo farne uno verso sx... pèerchè sto contando menovolte. Che al lato pratico significa andare dall'altra parte, ma se mi dimentico che sto contando menovolte va a finire che dopo un po' agisco meccanicamente e semplicemente sottraggo invece di sommare o viceversa.

Adesso posso completare lo schemino.
-5 più -6 ovvero (-5) + (-6) ottengo -11
-5 meno -6 ovvero (-5) - (-6) ottengo +1

Questo estende la proprietà commutativa ai segni o, per meglio dire, fa si che due segni consecutivi interagiscano tra loro in questo modo: se i due segni sono concordi (+e+ o -e-) allora abbiamo un +, se sono discordi un -.

Come vedete, anche intuitivamente, abbiamo completato la somma... ovvero non sottraiamo più ma sommiamo sempre... e questo grazie ai numeri relativi (abbiamo inglobato la sottrazione nei segni dei numeri e sommiamo sia verso dx che verso sx).
Non che la sottrazione non esista, io posso sempre togliere tre gatti dal mio insieme di quattro, ma coi numeri la cosa è trascesa dato che non possiamo certo togliere menotre gatti da un insieme di menoquattro. O si? icon_mrgr:

Il ragionamento di Red era bello ed elegante... l'unica pecca è che si è fatta prendere dall'entusiasmo (e quindi fretta) e ha fatto -5 meno +6 invece di -5 meno -6.

Un altra considerazione e vi lascio (se non è chiaro qualcosa ditelo pls)... come aveva iniziato a dire Turi, con tre meni abbiamo fatto un più... se togliamo da un'entità (quantità) negativa un'altra entità (quantità) negativa possiamo (forse... dipende da quanto sono "distanti dallo zero" (non maggiori occhio)) ottenerne una positiva.

Provo alcuni esempi...
(-6) - (-5) = -1
(-6) + (+5) = -1
(+5) - (+6) = -1
(+5) + (-6) = -1

nel primo esempio vi sono tre meno eppure il risultato è sempre col segno meno...
in sequenza... - - -, -++, +-+,++- e danno tutti come risultato -1
Mi trovo prossimo allo zero...
altro esempio... (-100) - (-1) = -99

Quindi non capisco come coi tre segni negativi ottengo un positivo? mi potresti spiegare meglio questo concetto?

8-)

Che sciocca la sottrazione si muove verso sinistra e non verso destra.
forse affrettata forse superficiale piango.gif ,sarà che lavorare al contrario m'incasina..vediamo se ho capito
-4-(-5)= +1 ?
-4-(-3)= -1 ?

:C:

Si Daf, adesso è giusto.


Come avevo detto in precedenza (il post è fermo da un po') dobbiamo esplorare un po' meglio la moltiplicazione ed introdurre l'elevamento a potenza.
Per la moltiplicazione è abbastanza facile... finchè restiamo in N (numeri naturali). Se per sommare cammino a passo costante (uno) per moltiplicare corro, ma sempre a passo costante... vedremo che per elevare a potenza corro accelerando.

Quindi moltiplicare è semplicemente sommare solo facendo passi più lunghi... lunghi tanto quanto mi dice uno dei fattori. In effetti, se ci pensate, si dice comunemente "contare per due o per tre ecc.".

Quindi se devo moltiplicare per 5 per 3 dovrei contare tre volte a passi di 5. cinque, dieci, quindici.
Se devo moltiplicare 2 per 6 stessa cosa.. conto sei volte a passi di due: due, quattro, sei, otto, dieci , dodici.

Ma da dove parto? Beh, in realtà mi tocca partire dallo zero. Da un certo punto di vista posso partire dal primo numero (il 5 del primo esempio) ma allora ho già contato una volta... quindi in realtà parto dallo zero. Quindi occhio... l'introduzione dello zero ha dato una sistemata generale anche alla mltiplicazione.

Non solo, ma posso anche chiedermi cosa ottengo a moltiplicare 5 per 1 e anche 5 per 0.
Nel primo caso devo contare a passi di 5 una volta sola... ecco che mi fermo al primo passo: 5.
Nel secondo caso devo contare a passi di 5 zero volte... quindi non parto neanche... ecco che fa 0.
E' facile vedere che qualsiasi numero moltiplicato per zero da zero.

Un'altra cosa che è facile notare è che, come per la somma, se scambiamo di posto i fattori il risultato non cambia. Ovvero contare a passi di 6 per due volte equivale a contare a passi di 2 sei volte... 2x6=6x2=12
Il che, se ci si fa caso, è abbastanza ovvio, dato che la differenza tra somma e moltiplicazione è solo una questione di lunghezza dei passi, la proprietà non ne risente.

Le cose invece si complicano quando introduciamo i numeri realtivi... e qui raccoglieremo il frutto della fatica di aver completato la somma (invece di limitarci a considerare somma e sottrazione come due cose distinte).
Infatti ci troviamo di fronte al problema di fare passi lunghi -2... e magari per -5 volte.
Ma sempre di moltiplicazione si tratta, anche se corrisponde alla sottrazione di prima. Se invece la consideriamo (la sottrazione) come un'estensione della somma ecco che somma e moltiplicazione mostrano una simmetria che ci da anche una sensazione di bello, di armonico.

Vabbeh, se si capisce poco lo vedremo con calma... intanto resta da affrontare il problema seguente:

+3 x +5 = 15
+3 x -5 = ?
-3 x +5 = ?
-3 x -5 = ?

Chi mi aiuta?

Allora vediamo se ho capito...

+3 x -5 = ?
Sottraggo a passi di 5 per tre volte ovvero mi trovo a 0 e conto il primo passo che è 5 poi lo ripeto una seconda volta (verso sinistra per sottrarre essendo nel mondo a destra dello zero) e mi trovo a -10 ed infine una terza volta e mi trovo a -15.
Salto tre volte di cinque verso sinistra perchè parto dal mondo (+) ovvero a destra dello zero e perchè devo sottrarre.

[15]<--[10]<--[5]<--[0]----------------


-3 x +5 = ?
Conto a passi di 5 per tre volte però ho un meno davanti al tre e quindi devo andare a sinistra. Allora mi trovo a 0 (si parte sempre da zero) e conto il primo passo che è 5 ma a sinistra perchè sono nel mondo a sinistra dello zero e quindi mi trovo a (-5) poi ripeto una seconda volta il passo di 5 verso sinistra e mi trovo a -10 ed infine una terza volta e mi trovo a -15.
Salto cinque volte di tre verso sinistra perchè parto dal mondo (-) ovvero a sinistra dello zero e perchè devo sommare.

[15]<--[10]<--[5]<--[0]----------------


-3 x -5 = ?
Conto a passi di -5 per tre volte però ho un meno davanti e quindi devo sottrarre ovvero andare a destra perchè mi trovo nel lato a sinistra dello zero. Allora mi trovo a 0 (si parte sempre da zero) e conto il primo passo che è -5 ma verso destra perchè sottraggo e quindi mi trovo a +5 poi ripeto una seconda volta il passo di -5 verso destra ma ora mi trovo a destra dello zero (sono a +5) quindi vado a destra e mi trovo a +10 ed infine una terza volta conto -5(ma a destra dello zero ho valori positivi) e mi trovo a +15.
Salto tre volte di cinque verso destra perchè parto dal mondo (-) ovvero a sinistra dello zero e perchè devo sottrarre.

----------------[0]-->[5]-->[10]-->[15]

Ci voglio provare anch'io !!!!

+3 x -5
Vedo un segno - , quindi significa che partendo dallo 0, devo fare 5 salti di 3 verso sinistra arrivando a -15 perchè è come se scrivessi (+3) - (+3) - (+3) - (+3) - (+3) = -15
Facendo un esempio, è come se dovessi pagare per 5 volte un debito di 3 euro, dove 3 è il mio debito e 5 quante volte lo devo togliere, in tutto mi trovo essere sotto di 15 euro, quindi scrivo - 15.

Lo stesso discorso vale per -3 x +5, vedo sempre il segno - quindi devo andare verso sinistra dallo 0, 3 salti di 5 arrivando ugualmente a -15. Quindi scrivo (+5) - (+5) - (+5) = -15
E' come se avessi 3 debiti di 5 euro, in totale mi trovo a essere sotto di 15....

-3 x -5
Qui vedo due volte il segno - , quindi partendo dallo 0 andrò verso destra, perchè in pratica li devo sommare...
provo a scrivere (+3) + (+3) + (+3) + (+3) + (+3) = +15

Torno al mio esempio dei debiti che in questo caso diventano crediti: mi trovo a non avere debiti perchè in mancanza del segno positivo + che assegnavo prima a quello che dovevo dare nel mondo negativo (a causa del segno -), non devo sommare cifre negative (i salti di prima verso sinistra) ma mi ritrovo ad avere + 15 in mio favore, e niente debiti. E' il contrario di quello che facevo prima...

Io penso che questo sia dovuto al fatto che per moltiplicare un numero positivo per uno negativo si tiene conto del più ma andando verso sinistra dallo 0 a causa del segno -, mentre quando abbiamo due numeri tutti e due col segno - li dobbiamo sommare perchè manca il + che mi dice la quantità da togliere, quindi andare verso destra dallo 0, ottenendo per risultato un numero positivo.

Ultima considerazione, è come se i numeri a sinistra dello 0, quelli col segno -, si rispecchino in quelli a destra dello zero, ma al contrario.... facendo cioè cambiare valore al segno.

Uff... che fatica, però....

nonso.gif

..caspita..pensavo di aver capito la somma e toh che arriva la moltiplicazione e..nebbia in val padana..piango.gif
+3 X +5 ..va bene parto dallo zero, il tre è positivo, sono a dx e il 5 anche, continuo a spostarmi verso dx = +15 (3 sommato cinque volte)

+3 X -5 ehm...sono a dx perchè il 3 è ancora positivo ma devo saltellare per -5 volte..quindi mi sposto a sx? allora il risultato è -15 (è un tre sommato per meno 5 volte?)

-3 X +5 ecco, qui mi intorto un pò, sono a sx perchè il 3 è negativo e devo saltellare per 5 volte..visto che il 5 è positivo dovrei saltellare verso dx, quindi ottenere un +15 ma so che dovrebbe uscire -15 e non 15..ohhppure..spetta...se sono a -3 e devo saltellare per lo stesso numero per cinque volte resto a sx quindi ottengo -15 nonso.gif (sarebbe un -3 sommato per 5 volte giusto? (-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)

-3 X -5 sono a sx col -3 e devo saltellare per lo stesso numero per -5 volte, quindi verso sx, martello.: no..nenche qui ci siamo..so che non fà -15...perchè? dunque dovrebbe essere un -3 sommato per meno 5 volte..ohohh..la somma va verso dx ($) quindi parto da zero (fin qui ci siamo) .. può essere che diventa (-3)-(-3)-(-3)-(-3)-(-3) = -15 ma siccome parliamo di somma allora deve andare a dx quindi diventa 15?
blink.gif help

Tutte le risposte che avete dato sono notevoli, quella di Grey molto buona a mio avviso, ma Dafne ha centrato il problema.

Se sommare è camminare e moltiplicare correre o saltellare, significa che moltiplicare è sommare solo più veloce. Quindi certamente che la moltiplicazione può essere risotta a somma. Così facendo si dovrebbe avere la certezza del risultato... se si è capito come sommare.

Se devo moltiplicare 4x3 so che è come sommare 4+4 tre volte... quindi volendo posso anche contare per uno, ci metto di più ma arrivo sempre a 12 (4+4+4... o 3+3+3+3 se faccio 3x4).

Quando ci infilo i numenri relativi la cosa non cambia.
+3 x +4 corrisponde a
(+3) + (+3) + (+3) + (+3) = +12

E' stato afforntato bene il problema del -3 x +4... (scusate -5). Come dice Dafne

Giusto si.

Ma com'è che anche +3 x -5 fa -15?
Se io facessi (+3) - (+3) - (+3) - (+3) - (+3) otterrei -9...
posso ottenere -15 solo se parto da -3... qui mi spiace ma Stella ha fatto male i conti. Il discorso dei debiti che si sommano, ovvero del sommare una quantità negativa vale per la parte riportata da Dafne... per l'altra no. O si?

E soprattutto resta il probema del (-5) x (-3)...

In realtà Grey da la soluzione corretta anche se forse spiega un po' intorcolato... ma lui si ricorda che per moltiplicare si parte dallo zero.

Infatti anche per dire (+3) x (+5), che equivale a dire
(+3) + (+3) + (+3) + (+3) + (+3) se ci pensate si pèarte dallo zero... dato che davanti al primo 3 c'è un più... i 3 sono si 5 ma i segni + devono essere anch'essi 5, mentre tra le parentesi sono solo 4.
Si dovrebbe dire 0+3+3+3+3+3... o meglio
(0) + (+3) + (+3) + (+3) + (+3) + (+3)

Adesso vi suona meglio? Provate a vedere se vi funzia?

:sornione: veramente era l'unica cosa che avevo capito per bene..
boccaccia:
ma
+3 X (-5)
il primo numero, il 3,questa è la mia unità da moltiplicare,oltre che mi dice da che parte sto dello zero?
e quel meno 5 che mi dice? che i saltelli sono 5 ma che sono nel meno, quindi devo sottrarre, andando verso sx?
donc
0-(+3)-(+3)-(+3)-(+3)-(+3) = -(+15) = -15?

allùra
mò torna il mio problema
(-3) X (-5)
la mia unità saltellante è il (-3),sono a sx dello zero, il meno 5 mi dice che devo saltellare per 5 volte in senso meno quindi dovrei sottrarre, muovermi verso sx
0-(-3)-(-3)-(-3)-(-3)-(-3) = - (-15)
ma se devo spiegare perchè diventa più..boh...martello.:
-5-(-7) mi da +2 perchè tolgo da una quantità negativa una quantità negativa maggiore.. piango.gif
bon Ray, mi sa che sta somma di negativi non l'ho proprio capita

Ray abbi pazienza abbraccio:
Posso fare il gioco di: mamma mamma quanti passi devo fare per arrivare al tuo castello bello bello?
Allora quando la mamma diceva fai tre passi da cavallo andavi verso di lei e contavi + quando diceva: fai tre passi da gambero rosso, contavi ma camminavi all'indietro -
Se lo spostiamo nella nostra posizione del grafico tenendo presente che le spalle devono essere sempre verso lo zero in qualunque modo contiamo possiamo dire che il cavallo + va avanti il gambero - va indietro per quanti passi deve fare.
Poi se ho ben capito per la moltiplica si parte dalla base di partenza quindi dallo zero e a seconda del numero con segno - o + gambero o cavallo ci si muove avanti o indietro.
Ossignur ho complicato?diavolo.g: Per gli amici faccio complicazioni affari semplici di soprannome. icon_mrgr:
:C:

Massì, alla fin fine il meccanismo è semplice, il + vi fa andare verso destra e ogni - vi fa cambiare direzione. Quindi se ce ne sono due cambiate due volte.

Il discorso si è complicato molto strada facendo, ma questo a mio avviso non è un male (se poi si risemplifica)... serve a capire davvero e non a limitarsi a imparare a memoria una procedura senza sapere perchè è così.

Quindi è meglio impiegare magari molti tempo sulle cose base per poi procedere a passo sicuro, piuttosto che avere basi tremolanti e impantanarsi alla prima (o seconda o terza) difficoltà.

Ray volevo chiederti come possiamo interpretare i numeri fuori dall'idea di numero come misura, ma come simbolo puramente grafico?

Grazie fiori.gif